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ESPACE PHASES [40 fiches]

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Liste alphabétique des termes

Fiche 1 2011-12-16

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
DEF

Every function of a complex variable which is bounded and analytic in the entire complex plane must be constant.

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
DEF

L'élément de volume, dans l'espace des phases, est conservé pendant l'évolution temporelle, et cela empêche la contraction de volume que l'on observe dans le voisinage d’un attracteur.

Espagnol

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Fiche 2 2011-10-21

Anglais

Subject field(s)
  • Computer Graphics
  • Mathematics
DEF

A mathematical construction consisting of a system of entities, called cells, whose temporal evolution is governed by a collection of rules, so that its behavior over time may appear highly complex or chaotic.

CONT

One way of coming to grips with the properties of complex systems is through a field of mathematics devoted to the study of so-called cellular automata. The best way of explaining its style of analysis is by example. Imagine a long row of boxes - some black, some white - arranged to form some initial pattern, a starting stage. The row of boxes is to give rise to a second row, just below the first. The way that takes place in a cellular automaton is that each box in the first row is subject to a set of reproduction rules.

PHR

finite state automaton, one-dimensional cellular automaton, two-dimensional cellular automaton.

Terme(s)-clé(s)
  • cellular automata

Français

Domaine(s)
  • Infographie
  • Mathématiques
DEF

Réseau de cellules dont chacune peut prendre un ensemble fini d’états discrets, et évoluer selon une règle dont le résultat dépend des états dans lesquels se trouvent ses voisins. La règle peut être déterministe ou probabiliste.

OBS

Modèle théorique de l’ordinateur parallèle. En imagerie électronique, les cellules sont représentées par des points à l’écran et les états par des couleurs. Une fois définies les règles d’évolution des cellules et leurs configurations initiales, l’automate cellulaire peut engendrer des motifs complexes qui changent avec le temps.

PHR

L’automate cellulaire se développe, s’emplit, engendre des états, évolue, illustre des phénomènes, mime la formation de structures.

PHR

automate cellulaire déterministe, probabiliste, à un seul état, Méli-Mélo.

PHR

couplage, espace des phases d’un automate cellulaire.

Espagnol

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Fiche 3 2002-02-25

Anglais

Subject field(s)
  • Meteorological Forecasting, Data Measurement and Analysis
  • Scientific Measurements and Analyses
  • Mathematics
DEF

Space, with as many dimensions as there are degrees of freedom, in which the state of a dynamic system is represented by a point and its evolution by an orbit.

Français

Domaine(s)
  • Prévisions météorologiques et mesure et analyse des données
  • Mesures et analyse (Sciences)
  • Mathématiques
OBS

On utilise la lettre X pour l’énergie car, plus bas, une configuration d’énergie correspondra à un point dans l’espace de phase de notre système dynamique.

OBS

L’espace de phase est le recensement des états possibles d’un système dynamique. On peut également le définir comme un espace abstrait dont chaque variable représente une dimension nécessaire à la description du système à un moment donné.

OBS

Espace des phases. Il est possible de suivre l'évolution de l'état d’un système physique dans le temps. Pour cela, on construit d’abord un modèle avec les lois physiques et les paramètres nécessaires et suffisants pour caractériser le système. Ce modèle est constitué par des équations différentielles. On définira, à un instant donné, un point dans un «repère». Ce point caractérisera l'état du système dans l'espace à cet instant. Cet espace est appelé «l'espace des phases». Lorsque le temps s’écoule, le point figurant l'état du système décrit en général une courbe dans cette espace. On parle alors de son orbite.

Terme(s)-clé(s)
  • espace d’état d’un système dynamique
  • espace d’états d’un système dynamique
  • espace des phases d’un système dynamique

Espagnol

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Fiche 4 2001-11-08

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Computer Graphics
CONT

On the other hand, a ball can be poised in unstable equilibrium on a pencil's point. When the initial position is near this equilibrium, the ball seems to be pushed away, before converging to stable equilibrium elsewhere. The set of all unstable equilibrium states, plus their limit points, is called repeller.

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Infographie
DEF

Ensemble des états loin d’équilibre vers lesquels s’orientent les trajectoires divergentes dans l'espace des phases.

OBS

Le plus simple répulseur est le point répulsif, l’opposé du point attractif.

Espagnol

Conserver la fiche 4

Fiche 5 2001-04-11

Anglais

Subject field(s)
  • Military Training
CONT

In the Academic Weapons (AW) module the candidate learns weapons delivery procedures on a controlled academic range. This training allows the student to develop a "sight picture" with respect to safety, weapons employment and minimum attack parameters.

Français

Domaine(s)
  • Instruction du personnel militaire
CONT

Le programme NFTC [programme d’entraînement au vol de l'OTAN au Canada] s’exécute en trois phases à la BFC Moose Jaw(Saskatchewan) et à la BFC Cold Lake(Alberta) et profite de l'espace aérien militaire sans restriction de plus de 700 000 kilomètres carrés, sans compter le polygone d’instruction tactique de la BFC Cold Lake qui est considéré comme l'une des meilleures installations de formation au monde.

Espagnol

Conserver la fiche 5

Fiche 6 2000-02-16

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Computer Graphics
CONT

The solenoid is an attractor which is contained in a torus.

OBS

... the solenoid and the Plykin attractor .... are examples of a special type of attractor known as a transitive or hyperbolic attractor.

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Infographie
DEF

Modèle d’attracteur étrange formé dans l'espace des phases à trois dimensions à partir d’un tore solide dont les parties ont été tour à tour amincies, comprimées transversalement puis enroulées en boudins filiformes s’articulant autour d’un axe.

OBS

Steve Smale a fourni une description mathématique du solénoïde.

PHR

solénoïde de Poincaré, de Smale.

Espagnol

Conserver la fiche 6

Fiche 7 1999-06-30

Anglais

Subject field(s)
  • Brush, Prairie and Forest Fires
DEF

The difference in time between the beginning of any action and its actual accomplishment ...

Français

Domaine(s)
  • Incendies de végétation
DEF

Espace de temps pendant lequel se déroulent une ou plusieurs phases de la lutte contre les incendies.

Espagnol

Campo(s) temático(s)
  • Incendio de la vegetación
Conserver la fiche 7

Fiche 8 1998-09-30

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Metallography
DEF

The number of variables defining the state of a system (e.g. pressure, temperature) which may be fixed at will.

CONT

The state variables or degrees of freedom ... are supposed to form a complete set of generalized coordinates in some relevant phase space and the external working conditions applied to the system are specified by an additional set of control parameters ....

Terme(s)-clé(s)
  • degrees of freedom

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Métallographie
DEF

Nombre de variables d’état nécessaires pour décrire la configuration d’un système dynamique à un instant donné. Les variables forment, en principe, un ensemble complet de coordonnées généralisées dans un espace des phases adapté.

OBS

Selon certains auteurs, il s’agit de chaque couple de coordonnées position-vitesse associé à une possibilité de déplacement. Selon d’autres, il peut s’agir de l’un seulement de ces deux éléments. Ainsi, un point matériel qui se déplace le long d’un axe possède un seul degré de liberté: pour déterminer sa position, il suffit de connaître son abscisse par rapport au point d’origine. Une planète possède trois degrés de liberté; un système à deux corps, six degrés de liberté; un système à trois corps, neuf degrés de liberté.

PHR

Le degré de liberté émerge dans l'espace des phases.

PHR

nombre infini de degrés de liberté.

Espagnol

Conserver la fiche 8

Fiche 9 1997-09-10

Anglais

Subject field(s)
  • Chemistry
DEF

The region of space comprising and adjoining the phase boundary within which the properties of matter are significantly different from the values in the adjoining bulk phases.

Français

Domaine(s)
  • Chimie
DEF

[...] région de l'espace qui comprend, et qui est en contact avec la limite de la phase à l'intérieur de laquelle les propriétés de la matière diffèrent notablement des valeurs retrouvées dans la masse des phases périphériques.

Espagnol

Conserver la fiche 9

Fiche 10 1995-10-16

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Computer Graphics
CONT

Rather than [being] attracted to a fixed point, [the pendulum] is drawn toward a cyclic path in phase space. This path is called a limit cycle, or limit cycle attractor.

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Infographie
DEF

Attracteur simple et stable, dont le régime correspond à une fonction périodique ayant une seule fréquence fondamentale, calculable en série de Fourier à partir d’une condition initiale.

OBS

Dans l'espace des phases, les trajectoires voisines de cet attracteur suivent une courbe régulière, tel un cercle ou une ellipse. L'attracteur de Van der Pol en est un exemple. Le nom "cycle limite" vient de Henri Poincaré qui le définit comme courbe intégrale qui n’ aboutit pas à un point singulier, mais qui s’enroule asymptotiquement en spirale. Selon le théorème de Poincaré-Bendixon, le cycle limite est la première occurrence-autre qu'un point-d’attracteur simple.

PHR

L’attracteur périodique cycle, s’effondre, forme des boucles de rétroaction, produit des flux, se retrouve sur un tore, spirale.

PHR

découvrir, déstabiliser, évoluer vers un attracteur périodique, s’organiser autour d’un attracteur périodique, parcourir, quitter, stocker un attracteur périodique dans le chaos, tendre vers un attracteur périodique, traverser un attracteur périodique.

PHR

attracteur périodique centré, complexe, couplé, externe, extrême, indépendant, instable, interne, mixte, momentané, original, répulsif.

PHR

attracteur périodique de reconnaissance, de Van der Pol.

Espagnol

Conserver la fiche 10

Fiche 11 1995-10-16

Anglais

Subject field(s)
  • Computer Graphics
  • Mathematics
DEF

A geometrical object toward which the trajectory of a dynamical system represented by a curve in the phase space, converges in the course of time.

CONT

Predictable, or tame, attractors correspond to the behavior to which a system settles down or is "attracted". A strange attractor is represented by an unpredictable trajectory where a minute difference in starting positions of two initially adjacent points leads to totally uncorrelated positions later in time or in the mathematical iteration.

CONT

Recursion relations are also used to construct fractal attractors characteristic of chaotic motion. As a simple example we briefly mention dynamic systems that period double on their way to chaos ... However the set invariant with regard to (2.19) is a repeller (not an attractor). It can be shown that the attractor forms approximately a non-uniform Cantor set.

OBS

See dissipative system, Lyapunov exponent, aperiodic, attractor, chaotic, fractal and strange attractors.

Terme(s)-clé(s)
  • tame attractor

Français

Domaine(s)
  • Infographie
  • Mathématiques
DEF

Ensemble invariant vers lequel est attirée asymptotiquement la trajectoire d’un système dynamique représentée par une courbe dans l'espace des phases.

OBS

L’on distingue les attracteurs simples ou non étranges calculables à partir d’un point initial (attracteur ponctuel, attracteur périodique, attracteur bipériodique ou quasi périodique) des attracteurs étranges (attracteur apériodique, fractal, chaotique) calculables point par point.

PHR

L’attracteur apparaît, croît exponentiellement, se déploye, se dessine, diminue exponentiellement, envahit l’espace de phase, gagne une structure, représente des mouvements, résiste aux perturbations, reste localisé, rétrécit.

PHR

calculer, changer, construire, converger vers, définir, dessiner, fabriquer, identifier, illustrer, reconstituer, sauter d’un attracteur à un autre, tendre vers un attracteur, tracer, trouver, visiter, visualiser un attracteur.

PHR

attracteur apériodique, binaire, bipériodique, borné, chaotique, cyclique, domestique, étrange, féroce, fractal, fréquenté, instable, non périodique, pervers, simple, stable, vague.

PHR

attracteur à intérieur non vide, de Hénon, de Lorenz, de Van der Pol, d’une dynamique, sans intérieur.

PHR

attracteur apériodique, binaire, bipériodique, borné chaotique, cyclique, domestique, étrange, féroce, fractal, fréquenté, instable, non périodique, pervers, simple, stable, vague.

Espagnol

Conserver la fiche 11

Fiche 12 1995-10-16

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Computer Graphics
  • Artificial Intelligence
DEF

In a phase space, the set of initial conditions giving rise to trajectories converging towards the attractor.

CONT

Scientists began to apply formalisms of chaos to research in artificial intelligence. The dynamics of systems wandering between basins of attraction appealed to those looking for a way to model symbols and memories. A physicist thinking of "ideas" as regions with fuzzy boundaries, separate yet overlapping, pulling like magnets and yet letting go, would naturally turn to the image of a phase-space with basins of attraction. Such models seem to have the right features: points of stability mixed with instability, and regions with changeable boundaries. Their fractal structure offers the kind of infinitely self-referential quality that seems so central to the mind's ability to bloom with ideas, decisions, emotions, and all other artifacts of consciousness.

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Infographie
  • Intelligence artificielle
DEF

Ensemble de points(conditions initiales) de l'espace des phases, tels que les trajectoires qui en sont issues convergent vers une limite asymptotique-l'attracteur.

OBS

Même si l’attracteur est un objet d’apparence géométrique simple, son bassin peut avoir une forme très complexe.

Espagnol

Conserver la fiche 12

Fiche 13 1995-10-16

Anglais

Subject field(s)
  • Computer Graphics
  • Mathematics
DEF

A property of dissipative systems whose surface given by initial conditions shrinks in time.

CONT

Clearly any contraction is a continuous mapping. The ratio of the contraction is the infinum value for which the inequality ... holds. A contraction that transforms every subset of an n-dimensional euclidean space into a geometrically similar set is called a similitude.

OBS

Contrast with area conservation characteristic of Hamiltonian systems. See also dilation and divergence.

Français

Domaine(s)
  • Infographie
  • Mathématiques
DEF

Propriété distinctive d’un système dissipatif dont la surface des conditions initiales diminue en moyenne au cours du temps.

OBS

On dit, par exemple, que le flot «contracte» les aires dans l'espace des phases. En modélisation fractale, une image peut être soumise à une contraction isotrope c'est-à-dire, appliquée simultanément dans toutes les directions. Dérivés attestés : contractivité, contractant(adjectif).

PHR

contraction des aires anisotrope, isotrope, radiale.

PHR

facteur, divergence de contraction des aires.

Espagnol

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Fiche 14 1994-11-18

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Computer Graphics
CONT

Crutchfield's equation makes a momentary return to a state close to the initial conditions (known to scientists as the "Poincaré recurrence") much more likely than it would be in typical chaotic transformations.

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Infographie
DEF

Visite, par un système dynamique, de presque tous les états de son espace de phases.

OBS

Un exemple en est l’expérience illustrant l’intermittence fractale sous déformation, faite par J. Crutchfield de l’université de Californie à Santa Cruz. Une photo numérisée de H. Poincaré avait été étirée et repliée mathématiquement par un grand nombre d’itérations. Les étirements déformaient et faisaient disparaître l’image en diagonale pour ensuite en faire apparaître les lignes au coin opposé en bas de la page. Mais l’équation de Crutchfield faisait aussi qu’au gré des repliements, une brève intermittence d’ordre survienne qui reconstituait momentanément l’image initiale.

Espagnol

Conserver la fiche 14

Fiche 15 1994-11-18

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Computer Graphics
CONT

In general, we can define the phase space, the space whose axes are the coordinates of position and velocity and a phase trajectory which is a curve in this space representing the evolution of the system.

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Infographie
CONT

De façon générale on appelle [...] trajectoire de phases toute courbe de [l'espace des phases] représentative d’une évolution du système.

CONT

Au cours du temps, le point représentatif décrit une courbe dans l’espace de phase, qui est la trajectoire dans l’espace de phase (à ne pas confondre avec la trajectoire dans l’espace physique, c’est-à-dire, dans l’ensemble de la particule, la droite sur laquelle elle se déplace).

Espagnol

Conserver la fiche 15

Fiche 16 1994-11-14

Anglais

Subject field(s)
  • Fluid Mechanics and Hydraulics (Physics)
DEF

An abstraction of the concept of a family of solutions to an ordinary differential equation, namely, an action of the real numbers on a topological space satisfying certain "flow" properties.

PHR

dissipative dynamic system.

Français

Domaine(s)
  • Mécanique des fluides et hydraulique (Physique)
DEF

Système modélisable à l’aide de règles qui décrivent le changement subi par un de ses paramètres dans le temps ou sous une transformation itérative.

CONT

La matière de cet ouvrage concerne les lois d’évolution dans le temps des systèmes dynamiques [...] Lorsque le "système" à étudier est situé dans le domaine de la physique expérimentale, un "système dynamique" désigne une "configuration limitée d’objets", ou encore une description (verbale ou mathématique) plus ou moins subjective de cette configuration. Puisqu’il est impossible d’étudier une configuration limitée, lorsqu’elle se trouve immergée dans l’univers tout entier, il est nécessaire de séparer, ou d’isoler, cette configuration au moyen d’un artifice approprié [....] Le processus indispensable de séparation, ou d’isolation, mène à ce qui est appelé une contrainte de séparation [....] Dans un contexte abstrait [...] le terme "système dynamique" désigne simplement le système d’équation du mouvement.

OBS

De tels systèmes existent dans toutes les disciplines scientifiques. Par exemple, le mouvement des planètes autour du soleil peut être modélisé en tant que système dynamique où les planètes évoluent conformément aux lois de Neuwon.

PHR

système dynamique dissipatif.

PHR

Le système dynamique amplifie des écarts, change de configuration, comporte des lois, se déplace, engendre des situations, évolue, obéit à des lois, passe d’une phase à une autre, possède un temps caractéristique, répercute des écarts, reste confiné.

PHR

modéliser, piéger, visualiser un système dynamique.

PHR

système dynamique aléatoire, amorphe, amorti, antiferromagnétique, artificiel, asservi, atomique, auto-organisateur, axiomatique, binaire, biologique, bipériodique, chaotique, classique, cohérent, complet, conservatif, coopératif non linéaire, cristallin, découplé, désordonné, déterministe, discret, dissipatif, ergodique, esclave, euclidien, fermé, ferromagnétique, fractal, global, hétérogène, holomorphe, homogène, hyperbolique, indécomposable, initial, instable, intégrable, invariant, irréversible, isolé, linéaire, macroscopique, magnétique, magnétique ergodique, mécanique, naturel, non chaotique, non conservatif, non ergodique, non hiérarchique, non intégrable, non linéaire, ordonné, ouvert, périodique, physico-chimique, physique, prédictible, prévisible, quantique, quasi-périodique, réel, régulier, sans désordre, sensible, simple, stable, stationnaire, stochastique, uniforme.

PHR

système dynamique à attracteur unique, à énergie fixée, à peu de/plusieurs degrés de liberté, à rétroaction, avec commutations, d’axiomes, de Bernoulli, de commande, de coordonnées, de fonction itérative, de Kolmogorov, de Morse-Smale, de numération, de particules, d’équation différentielle, de rétroaction, de rouleaux, de variable canonique, prédateur-proie.

PHR

système dynamique hors d’équilibre, loin d’équilibre, proche d’équilibre.

PHR

caractéristique, classe, comportement, conditions initiales d’un système dynamique, devenir, dynamique, énergie, espace des phases, état, évolution, fonction, instabilité, métastabilité, mode, modèle, mouvement, ordre initial, ordre magnétique, paramètre, phase, physique, régime, résistance, robustesse, stabilité, temps de résidence d’un système dynamique, théorie des systèmes dynamiques, turbulence, variable d’un système dynamique.

Espagnol

Conserver la fiche 16

Fiche 17 1994-11-14

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Computer Graphics
CONT

Trajectories diverge within a plane by spiralling out. They then emerge from the plane, and return again, reinjected into the center of the spiral. The process is repeated ad infinitum. This requires two operations: stretching due to SIC, followed by folding, without which the trajectories could not remain confined in a bounded space.

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Infographie
DEF

Technique de modélisation dynamique qui assure le confinement d’une trajectoire dans une portion restreinte, bornée, de l'espace des phases.

OBS

Par analogie avec le traitement que le boulanger fait subir à la pâte (contraction, étirement et repliement), on peut confectionner le modèle d’un attracteur ayant au moins trois dimensions et une structure feuilletée.

PHR

repliement itératif.

PHR

repliement de changement.

PHR

déformation par repliement.

Espagnol

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Fiche 18 1994-09-15

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Computer Mathematics
CONT

A strange attractor is an attractor for which the iterates Xn depend sensitively on the initial X0 that is, arbitrarily close initial values will become macroscopically separated for a sufficiently large N. Strange attractors are fractal dusts with a fractal dimension smaller than the Euclidean dimension of the embedding space.

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Mathématiques informatiques
DEF

Objet mathématique à structure transverse fractale extrêmement enchevêtrée qui consiste en une infinité de points, chacun d’eux représentant un état du système turbulent considéré, et dont la dimension reste basse(et souvent, fractionnaire) même lorsque l'espace des phases du système possède une grande dimension, parfois infinie. Les trajectoires de phase sont attirées vers l'attracteur; les paires de trajectoires initialement voisines divergent rapidement sur l'attracteur étrange.

OBS

Concept découvert par S. Smale et utilisé en 1971 par D. Ruelle et F. Takens pour montrer que chaos peut survenir dès qu’un système dynamique comporte au moins trois paramètres. Contrairement aux attracteurs des systèmes non turbulents, un attracteur étrange est infiniment sensible aux conditions initiales. Selon B. Mandelbrot (1983:197), dans la plupart des cas, un attracteur est étrange lorsqu’il est fractal, mais la réciproque n’est pas nécessairement vraie. L’étrange présuppose des propriétés topologiques inhabituelles auxquelles peuvent s’ajouter des propriétés fractales inhabituelles.

PHR

L’attracteur étrange se contracte, crée des plis (à l’intérieur d’autres plis), se déplie, se déploie, se développe, se dilate, s’enroule, s’étire, évolue, intègre une immense incertitude, se plie, prend une direction dilatante/contractante; se replie, subsiste.

PHR

construire, découvrir, développer, sauter d’un attracteur étrange à un autre attracteur étrange.

PHR

direction, feuillet, fronce, plis, point figuratif, structure lacunaire, trajectoire d’un attracteur étrange.

Espagnol

Conserver la fiche 18

Fiche 19 1994-09-15

Anglais

Subject field(s)
  • Artificial Intelligence
DEF

A function of a vector and of time which is positive-definite and has a negative-definite derivative with respect to time for nonzero vectors, is identically zero for the zero vector, and approaches infinity as the norm of the vector approaches infinity; used in determining the stability of control systems.

Français

Domaine(s)
  • Intelligence artificielle
DEF

Fonction vecteur-temps décrivant un flot quelquefois non autonome dans l'espace des phases d’un système dynamique.

OBS

La fonction de Liapounov permet souvent de cerner la stabilité ou l’attractivité d’un ensemble invariant.

Espagnol

Conserver la fiche 19

Fiche 20 1994-08-05

Anglais

Subject field(s)
  • Physics

Français

Domaine(s)
  • Physique
DEF

Système décrit par des équations non linéaires, particulièrement sensible aux conditions initiales et dont les trajectoires, même très proches au départ, divergent dans le temps de façon exponentielle, au point de rendre impossible toute prévision à long terme.

OBS

Dans l'espace des phases, ces trajectoires restent toutefois au voisinage du bassin d’attraction.

PHR

système chaotique différentiable, discret dans le temps, holomorphe.

Espagnol

Conserver la fiche 20

Fiche 21 1994-08-05

Anglais

Subject field(s)
  • Physics

Français

Domaine(s)
  • Physique
DEF

Système dynamique caractérisé par l'invariance d’énergie, la réversibilité des équations du mouvement et la conservation des aires et des volumes dans l'espace des phases.

Espagnol

Conserver la fiche 21

Fiche 22 1994-08-03

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Computer Graphics
DEF

... level curve passing through the unstable equilibrium points of the pendulum ....

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Infographie
DEF

Courbe de niveau qui passe par les points d’équilibre instable dans l'espace des phases.

PHR

remplacer, toucher une séparatrice.

Espagnol

Conserver la fiche 22

Fiche 23 1994-08-02

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Computer Graphics
CONT

Phase space is composed of as many dimensions (or variables) as the scientist needs to describe a system's movement. With a mechanical system, scientists usually map the system's phase space in terms of position and velocity. In an ecological system, the phase space might be mapped as the population size of different species.

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Infographie
DEF

Suivant Newton (1687), espace euclidien qui définit l’état d’un système dynamique à un instant donné par la position et la quantité de mouvement dans tous ses composants. Suivant Hamilton (1805-1865) et Jacobi (1804-1851), espace abstrait de dimension N qui représente l’évolution d’un système dynamique: les axes de ses coordonnées (position et vitesse) correspondent aux différents degrés de liberté caractérisant les mouvements du système.

OBS

Le mouvement du pendule a deux degrés de liberté. Sa trajectoire se referme sur elle-même lorsque le pendule s’immobilise. Son espace des phases est bidimensionnel et périodique. D'autre part, l'eau d’un torrent a un très grand nombre de degrés de liberté liés au nombre de ses tourbillons de tailles et de vitesses différentes.

PHR

L'espace des phases comporte des dimensions, contient des trajectoires.

PHR

construire, décrire, définir, engendrer, envahir, examiner l'espace des phases.

PHR

l'espace des phases bidimensionnel, cyclique.

PHR

l'espace des phases d’automate cellulaire, d’un système dynamique.

PHR

modèle d’espace des phases.

Espagnol

Conserver la fiche 23

Fiche 24 1994-08-02

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Computer Graphics
  • Physics
CONT

Beyond the threshold for aperiodic motion, trajectories are unpredictable in the long term. This unpredictability, which manifests itself in the decay of correlations, comes from an instability of trajectories in phase space. Roughly speaking, two trajectories that are issued from neighboring points in phase space do not stay close to each other but fly apart so that, after a while, knowing one instantaneous position does not help to predict the other.

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Infographie
  • Physique
CONT

Au delà du seuil d’apparition des mouvements apériodiques, les trajectoires sont imprédictibles à long terme. Cette imprédictibilité qui se manifeste par une décroissance des corrélations, découle d’une instabilité des trajectoires dans l'espace des phases. De façon imagée, deux trajectoires issues d’un même voisinage de l'espace des phases ne restent pas proches l'une de l'autre mais s’écartent de façon telle qu'après quelque temps la connaissance acquise sur la position instantanée de l'une ne permet pas de prédire celle de l'autre.

Espagnol

Conserver la fiche 24

Fiche 25 1994-08-02

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Computer Graphics

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Infographie
DEF

Trajectoire réduite obtenue en prenant l’intersection d’une trajectoire entière avec un plan de coupe, ou un plan de phase.

OBS

Cette méthode de H. Poincaré(1854-1912) permet de suivre l'évolution d’une trajectoire dans un espace bi ou tridimensionnel en coupant, dans l'espace des phases, la trajectoire par un plan et en relevant tous les points d’intersection de la trajectoire qui percent le plan dans un sens donné.

PHR

méthode de Poincaré, technique de Poincaré.

Espagnol

Conserver la fiche 25

Fiche 26 1994-08-02

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Computer Graphics
  • Physics
Terme(s)-clé(s)
  • hierarchy of dynamic systems

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Infographie
  • Physique
DEF

Schéma descriptif des systèmes dynamiques et de leurs modèles mathématiques en cinq classes numérotées de 0 à 4. Les systèmes d’ordre 0, sans dynamique ou à opérateur nul sont stationnaires; les systèmes d’ordre 1 sont résolubles à l'aide d’équations différentielles et de fonctions spéciales; les systèmes d’ordre 2 ont des solutions approximatives, réductibles à la théorie des perturbations; les systèmes dynamiques chaotiques d’ordre 3, ont des solutions quasi déterministes très difficiles à modéliser; le comportement prévisible de leurs trajectoires peut subir des changements erratiques et parfois, revenir à la normale; enfin, les systèmes d’ordre 4, dit turbulents ou stochastiques, sont résolubles statistiquement à l'aide de moyennes calculées dans le temps ou dans l'espace des phases.

OBS

Les images, les modélisations de la gravité illustrent l’ordre 0, le pendule et le problème des deux corps - l’ordre 1, les orbites des -planètes et des satellites - l’ordre 2, l’effet papillon et les équations de Lorenz - l’ordre 3, les écoulements turbulents et la mécanique quantique - l’ordre 4.

Espagnol

Conserver la fiche 26

Fiche 27 1994-08-01

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Computer Graphics

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Infographie
DEF

Système dynamique caractérisé par la dissipation de l'énergie au cours du temps, l'irréversibilité des équations du mouvement, ainsi que par la contraction et la dilatation des aires et/ou des volumes dans l'espace des phases.

Espagnol

Conserver la fiche 27

Fiche 28 1994-08-01

Anglais

Subject field(s)
  • Physics

Français

Domaine(s)
  • Physique
DEF

Système dynamique dont les trajectoires convergent dans l'espace des phases vers un attracteur non chaotique, en étant possiblement décalées dans le temps les unes par rapport aux autres.

Espagnol

Conserver la fiche 28

Fiche 29 1994-04-28

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Computer Graphics

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Infographie
DEF

Propriété des assemblages structurels et des systèmes dynamiques dont les frontières tendent à se fracturer, à se disloquer ou à s’éparpiller dans l'espace complémentaire à celui des phases.

OBS

La fractalité géométrique de ces frontières rend compte de propriétés telles que la rugosité, la porosité, la spongiosité, ou les interfaces dendritiques.

PHR

posséder la fractalité.

PHR

fractalité des alvéoles pulmonaires, des attracteurs, des piles électriques, du cerveau.

Espagnol

Conserver la fiche 29

Fiche 30 1994-04-15

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Fluid Mechanics and Hydraulics (Physics)

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Mécanique des fluides et hydraulique (Physique)
DEF

Solution d’un système d’équations différentielles qui décrit l’évolution d’un système dynamique.

OBS

Le flot est dit autonome lorsque, pour chaque équation, la fonction d’un vecteur dans l'espace des phases ne dépend pas explicitement du facteur temps. Le flot est non autonome dans l'espace des phases lorsque cette fonction dépend explicitement du temps.

PHR

Le flot revient au point de départ, se replie sur lui-même.

PHR

flot dynamique conservatif, intégrable, non intégrable.

PHR

flot de gradient, de trajectoires.

Espagnol

Conserver la fiche 30

Fiche 31 1994-04-08

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Computer Graphics
DEF

A quantity, sometimes represented by the Greek letter [lambda], used to characterize the divergence of trajectories in a chaotic flow.

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Infographie
DEF

Coefficient qui mesure le taux de convergence ou de divergence de deux trajectoires voisines au départ dans l'espace des phases.

OBS

L’exposant de Lyapounov (1857-1918), souvent représenté par le symbole lambda, permet d’approximer la durée du comportement prévisible d’un système dynamique et le moment où il basculera dans un comportement chaotique.

Espagnol

Conserver la fiche 31

Fiche 32 1994-03-15

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Computer Graphics
DEF

Curve for which the fractal dimension exceeds the topological dimension ...

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Infographie
CONT

(...) dans le schéma d’un espace des phases, l'attracteur étrange est repéré par le point qui représente le système. Au cours de son déplacement, le point du système se plie et se replie dans l'espace des phases avec une complexité infinie. Un attracteur étrange est donc une courbe fractale.

Espagnol

Conserver la fiche 32

Fiche 33 1994-01-25

Anglais

Subject field(s)
  • Mathematics
  • Computer Graphics
CONT

Rössler's attractor has been observed as the shape of growing turbulence in fluid flows and chemical reactions. Nearby points in the system are stretched around this shape again and again, creating folds within folds making it impossible to say just where the points are on the attractor. The attractor is the shape created in phase space by the "missing information", the shape of uncertainty.

OBS

Rössler['s] attractor [was] named after the theoretical chemist Otto Rössler who got the idea for it by watching a mechanical taffy puller repeatedly stretching taffy out and folding it back on itself. Rössler imagined what would happen to two raisins in the taffy and wrote down the equation that would describe their divergence.

Français

Domaine(s)
  • Mathématiques
  • Infographie
CONT

L'attracteur de Rössler a été observé comme étant la forme de la turbulence rencontrée dans les écoulements de fluides et les réactions chimiques. Les points proches du système sont étirés à l'infini autour de cette forme, créant ainsi des plis à l'intérieur d’autres plis. Rapidement, les points se séparent et les nombreux plis empêchent de préciser la position des points sur l'attracteur. L'attracteur est la forme créée dans l'espace des phases par «l'information manquante», la forme de l'incertitude.

OBS

[Le] chimiste théoricien Otto Rössler eut l’idée de cet attracteur en regardant un malaxeur mécanique étirer et replier de la pâte sur elle-même de manière répétée. Rössler imagina ce qui arriverait à deux raisins dans la pâte et écrivit l’équation qui décrirait leur divergence.

Espagnol

Conserver la fiche 33

Fiche 34 1993-06-10

Anglais

Subject field(s)
  • Fluid Mechanics and Hydraulics (Physics)
CONT

The very notion of determinism is intimately associated with the property of existence and uniqueness of the trajectory that passes through a given point in phase space at a given time.

Français

Domaine(s)
  • Mécanique des fluides et hydraulique (Physique)
CONT

La notion de déterminisme est intimement liée à la propriété d’existence et d’unicité de la trajectoire passant par un point donné de l'espace des phases à un instant donné.

Espagnol

Conserver la fiche 34

Fiche 35 1993-06-10

Anglais

Subject field(s)
  • Fluid Mechanics and Hydraulics (Physics)
CONT

Beyond the threshold for aperiodic motion, trajectories are unpredictable in the long term. This unpredictability, which manifests itself in the decay of correlations, comes from an instability of trajectories in phase space.

Français

Domaine(s)
  • Mécanique des fluides et hydraulique (Physique)
CONT

Au delà du seuil d’apparition des mouvements apériodiques, les trajectoires sont imprédictibles à long terme. Cette imprédictibilité qui se manifeste par une décroissance des corrélations, découle d’une instabilité des trajectoires dans l'espace des phases.

Espagnol

Conserver la fiche 35

Fiche 36 1993-06-08

Anglais

Subject field(s)
  • Fluid Mechanics and Hydraulics (Physics)
CONT

Indeed, to study bifurcations beyond periodic behavior we must detect perturbations hidden by the periodic driving by performing a stroboscopic analysis of the system. In phase space, this amounts to taking successive sections of trajectories with some surface of section and then defining a first return map. The initial time-continuous dynamical system is therefore converted into an iterated map called a discrete-time dynamical system which serves to analyze subsequent instabilities.

Français

Domaine(s)
  • Mécanique des fluides et hydraulique (Physique)
CONT

En effet pour étudier les bifurcations partant d’un régime périodique, il faut détecter les perturbations cachées sous le terme principal de dépendance temporelle en pratiquant une analyse stroboscopique du système. Dans l'espace des phases, ceci revient à déterminer les intersections successives des trajectoires avec une certaine surface de section et à définir une application de premier retour. Le système dynamique à temps continu initial est donc converti en une application itérative appelée système à temps discret et servant à analyser les instabilités ultérieures(....)

Espagnol

Conserver la fiche 36

Fiche 37 1993-06-08

Anglais

Subject field(s)
  • Fluid Mechanics and Hydraulics (Physics)
CONT

Indeed, to study bifurcations beyond periodic behavior we must detect perturbations hidden by the periodic driving by performing a stroboscopic analysis of the system. In phase space,this amounts to taking successive sections of trajectories with some surface of section and then defining a first return map. The initial time-continuous dynamical system is therefore converted into an iterated map called a discrete-time dynamical system which serves to analyze subsequent instabilities.

Français

Domaine(s)
  • Mécanique des fluides et hydraulique (Physique)
CONT

En effet pour étudier le bifurcations partant d’un régime périodique, il faut détecter les perturbations cachées sous le terme principal de dépendance temporelle en pratiquant une analyse stroboscopique du système. Dans l'espace des phases, ceci revient à déterminer les intersections successives des trajectoires avec une certaine surface de section et à définir une application de premier retour. Le système dynamique à temps continu initial est donc converti en une application itérative appelée système à temps discret et servant à analyser les instabilités ultérieures(....)

Espagnol

Conserver la fiche 37

Fiche 38 1993-06-08

Anglais

Subject field(s)
  • Fluid Mechanics and Hydraulics (Physics)
CONT

Indeed, to study bifurcations beyond periodic behavior we must detect perturbations hidden by the periodic driving by performing a stroboscopic analysis of the system. In phase space, this amounts to taking successive sections of trajectories with some surface of section and then defining a first return map. The initial time-continuous dynamical system is therefore converted into an iterated map called a discrete-time dynamical system which serves to analyze subsequent instabilities.

Français

Domaine(s)
  • Mécanique des fluides et hydraulique (Physique)
CONT

En effet pour étudier le bifurcations partant d’un régime périodique, il faut détecter les perturbations cachées sous le terme principal de dépendance temporelle en pratiquant une analyse stroboscopique du système. Dans l'espace des phases, ceci revient à déterminer les intersections successives des trajectoires avec une certaine surface de section et à définir une application de premier retour. Le système dynamique à temps continu initial est donc converti en une application itérative appelée système à temps discret et servant à analyser les instabilités ultérieures(....)

Espagnol

Conserver la fiche 38

Fiche 39 1993-06-01

Anglais

Subject field(s)
  • Fluid Mechanics and Hydraulics (Physics)
CONT

Stable manifolds of different fixed points cannot intersect owing to the property of uniqueness of trajectories passing through a given point in phase space since the crossing point would have two possible futures. The same holds for unstable manifolds of different fixed points (use the time-reversed system). In contrast, stable and unstable manifolds of different fixed points can intersect each other along special sets of trajectories called heteroclinic trajectories.

OBS

Such trajectories come asymptotically from one fixed point along its unstable manifold and reach asymptotically the other along its stable manifold.

Français

Domaine(s)
  • Mécanique des fluides et hydraulique (Physique)
CONT

Les variétés stables des différents points fixes n’ ont pas le droit de se couper en raison de la propriété d’unicité des trajectoires passant par un point de l'espace des phases car le point d’intersection aurait alors deux futurs différents; de même pour des variétés instables(utiliser le renversement du sens du temps). Par contre les variétés stables et instables de différents points fixes peuvent se couper formant des ensembles particuliers de trajectoires appelées hétéroclines.

OBS

De telles trajectoires émergent asymptotiquement d’un point fixe le long de sa variété instable et rejoignent l’autre le long de sa variété stable.

Espagnol

Conserver la fiche 39

Fiche 40 1993-06-01

Anglais

Subject field(s)
  • Fluid Mechanics and Hydraulics (Physics)
CONT

The existence of limit cycles is subjected to the Bendixon criterion which states that a simply connected region of the plane cannot contain a limit cycle if the divergence ... of the vector field ... keeps a constant sign in that region.

OBS

The reason is nearly obvious. Suppose that such a cycle exists. The area of the domain of phase space limited by this curve should be invariant under the evolution since the curve itself is invariant, but this is impossible if the divergence keeps a constant sign since the expansion rate of phase space elements in that region is not vanishing.

Français

Domaine(s)
  • Mécanique des fluides et hydraulique (Physique)
CONT

L’existence de cycles limites doit satisfaire au critère de Bendixon qui dit qu’une région simplement connexe du plan ne peut contenir de cycle limite si la divergence [...] du champ de vecteur [...] y garde un signe constant.

OBS

La raison en est presque évidente : supposons qu'un tel cycle existe, la surface du domaine limité par cette courbe devrait être invariante au cours de l'évolution, ce qui est impossible si la divergence, mesurant le taux d’expansion/contraction des éléments de volume dans l'espace des phases, garde un signe constant dans la région considérée.

Espagnol

Conserver la fiche 40

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